A antecipação de Arquimedes ao cálculo

Arquimedes

Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C) é considerado consensualmente o maior matemático da antiguidade, superando todos os outros pela quantidade e dificuldade dos problemas de que tratava, e pela originalidade de seus métodos e pelo rigor de suas demonstrações, filho de uma ilustre família de Siracusa, seu pai, o astrônomo Feidias, proporcionou-lhe uma educação de qualidade superior, enviando-o ao Egito com recursos suficientes para que ali a completasse. Em Alexandria, que se tornará um centro de intensa cultura, freqüentou o jovem Siciliano as lições dos ilustres sucessores de Euclides (mas Arquimedes não chegou a conhece-lo, pois quando foi para Alexandria, Euclides já havia falecido) e estudou sob a direção dos matemáticos Cônom de Samos, Dositeu de Pelusa e Erastóstenes, aos quais mais tarde dedicou várias de suas obras...

Ele fez descobertas importantes em geometria e matemática, tornando-se importante por suas invenções mecânicas. Em seu trabalho sobre áreas e volumes, desenvolveu também o método de exaustão, pelo qual aproxima-se a quantidade desejada pelas somas parciais de uma série ou pelos termos de uma seqüência. Obteve aproximações da área de um círculo comparando-o com as áreas de polígonos regulares inscritos e circunscritos. E achou que a área de uma superfície esférica é o quádruplo da área de seu, círculo maior. Achou também volumes de esferas e de segmentos determinados pela intersecção de planos com várias superfícies quádricas.

    Segundo a lenda, Arquimedes foi morto por um soldado romano durante a tomada da cidade enquanto estudava um diagrama geométrico na areia.

            O segredo das suas descobertas se esclareceu finalmente em 1906, com a descoberta feita por Heiberg, em Constantinopla, de uma cópia de O Método, um Tratado de Arquimedes enviado em forma de carta à seu amigo Erastótenes, onde ele explicava qual os caminhos que utilizou para chegar a alguns de seus resultados. O manuscrito se encontrava num palimpsesto, isto é, o texto foi escrito no século X, num pergaminho.

            Vejamos como Arquimedes resolveu o problema da quadratura da parábola: 

Seja r o raio da esfera. Façamos com que o diâmetro polar da esfera fique sobre o eixo x, com polo norte N na origem. Faça o cilindro e o cone de revolução obtidos pela rotação do retângulo NABS e do triângulo NCS em torno do eixo x. Tome agora nos três sólidos as fatias verticais delgadas correspondentes às secções de absissas x e x+Δx. Os volumes dessas fatias são aproximadamente:

esfera: Πx(2r – x)Δx

cilìndro: Πr²Δx

cone: Πx²Δx

         Penduremos no ponto T, dado por TN = 2r; as fatias da esfera e do cone. Seu momento combinado em relação a N é [πx(2r – x)Δx+πx²Δx]2r = 4π r²xΔx.

            Observe a figura:

           Podemos observar que o resultado anterior é o quádruplo do momento da fatia cilíndrica quando permanece em sua posição original. Somando-se uma grande quantidade dessas fatias, obtemos:

2r[volume da esfera+volume do cone] = 4r[volume do cilíndro],

ou

2r[volume da esfera+(8π r³)/3] = 8π r^4

ou

volume da esfera = (4π r³)/3.

           Segundo "O método", essa foi a maneira como Arquimedes descobriu a fórmula do volume da esfera. Sua conciência matemática, porém não se satisfazia com esse procedimento, recorrendo ao método da exaustão para fornecer sua demonstração mais rigorosa. Pelo método de equilíbrio pode-se ver a fertilidade da idéia que consiste em considerar a grandeza como sendo composta de um número muito grande de porções atômicas, embora essa lei não tenha uma fundamentação precisa.

           Com o método moderno dos limites, pode-se fazer com que o método de equilíbrio de Arquimedes torne-se perfeitamente rigoroso, confundindo-se com a moderna integração.

Referências:

Eves, Howard

Introdução à história da matemática/Howard Eves;tradução:hygino

H. Domingues. – Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004

http://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes